Misteriozna matematika

To je bila samo šala, nebudem više

E za ovo treba imati dobro izvježbano oko, inače crtež nema smisla.

Vjerojatno se moraš postepeno u to ufuravati. Jako je lijepo, i ako nema smisla

Hvala

Zato sam crtao 4D predmete. Najbolje se izvježbati tako da sama nacrtaš 4D objekt, i sve će doći na svoje.

5D je kao 4D predmet pomaknut u 5. dimenziju.

PhoeNiX_ReMinD je napisao/la:

Hvala


5D je kao 4D predmet pomaknut u 5. dimenziju.

Jasna mi je teorija, a nisam sigurna da je dojam pravi

Možeš si to puno jednostavnije zamislit. Kada crtaš 4D tijelo, tada nacrtaš glavno tijelo, a drugo nešto dalje u dubinu, i povežeš vrhove kao da se bliže (glavno) tijelo pomaknulo u to drugo tijelo.
A 5D je isto tako. Nacrtano 4D tijelo zamisliš kao da je obično 3D, te drugo 4D tijelo nacrtaš dalje u dubini, te opet povežeš po istom sistemu. Stavio sam slike kako radim crteže.

Dojam ćeš dobiti ako ćeš sama nacrtat. Crtanje je lagano, ali teorija je malo zeznuta.

Ako želiš, stavim animiranu 4D kocku s rotacijom pa da vidiš kako to izgleda, iako si možda i sama vidla

To s povezivanjem vrhova sam već skužila, ali to je za 4D. Ovo je za mene previše

Ma to sam i ja mislio. Sada ćeš možda bolje skužiti o čemu pričam. Iz ovakvih animacija sam se ja učio...

https://2img.net/r/ihimizer/img211/9044/hypercube2ts7.gif

previše šteka pa sam ostavio link

PhoeNiX_ReMinD je napisao/la:

gif se katkad sporije učitava

Prekrasno je, ali stvarno se dobije vrtoglavica kad se dulje gleda

To bi bila 4D kocka. Ona se kao što se kocka rastvara u 6 kvadrata čineći latinski križ, tako se i 4D kocka rastvara u 8 3D kocki koje također čine latinski križ.




A evo i kako se sastavlja 4D kocka

E ovo već kužim

Evo najjednostavnijeg 4D tijela. Simplex ili pentachoron

Oko ovoga pentachorona sam se malo potrudio. Crtao sam tako da se vidi lijepa zvijezda u ''sredini'' iz ove perspektive

Napokon sam napravio i 16 cell ili heksadekakoron

Ode ti nebu pod oblake s tim svojim crtežima!

svjetloisjena je napisao/la:

Ode ti nebu pod oblake s tim svojim crtežima!

Puno ti hvala

Jest da to izgleda lijepo, ali mogu ja to i bolje

Ali naravno prelijen sam se malo bolje potruditi, no što je, tu je.
Jedanput ću uložit sav svoj trud u crtež, pa da vidim što će ispast.

Pitaš se zašto sam to napisao. Jednostavno ne volim kada nedam sve od sebe, volim ići do granica svojih mogućnosti, ali isto tako ne volim biti ispod te granice.

Malo sam razmišljao o dubini prostora i o tome kako mi zapravo vidimo predmete. Shvatio sam da mi sve što je zapravo savršeno ravno vidimo kao da je savijeno. Taj efekt je zanemariv, ali postoji. Isto tako prividno savršeno ravno možemo vidjeti samo tijelo koje je malčice savijeno.

Na slici sam nabrzaka skicirao na koji način sam razmišljao.

Ovo lijevo gore je kvadrat, a na njegovoj ''sredini'' sam nacrtao 2 dužine koje spajaju polovišta nasuprotnih stranica i tvore plus.

Ispod toga je isto taj kvadrat, samo sa pojačanim efektom perspektive prikazan onako kako ga mi zapravo vidimo. Teži kružnici, da.

Desno gore je savršeno ravno tijelo (štap), a s crvenim sam označio mjesto gdje je fokusiran pogled neke osobe. Ta osoba taj predmet zapravo vidi onako kako je prikazano desno dolje. Sličan efekt je i kada stojimo kod vrata, pa nam tako izgledaju uz puno pojačanu perspektivu.

Dakle niti da je svjetlost beskonačno brza mi nebismo vidjeli predmete onakvima kakvi jesu.
Sada se bacam na 3D, možda i ovdje nađem ''bug''

PhoeNiX_ReMinD je napisao/la:

Sve je to percepcija.
Evo ja sam sada nacrtao kvadrat. A uopće ne izgleda ko kvadrat...



Čudno je sve to zato što mi to promatramo iz jedne točke, točnije 2 koje se ustabile u jednu pa vidimo jednu sliku,a ne 2.

Realno gledano, kvadrat možemo vidjeti sa svim istim stranicama samo ako ga gledamo odavdje:

Evo još toga. Gornja slika se odnosi na 3D prostor jer je taj ''kvadrat'' okrenut u dubinu pa nam izgleda tako nepravilno.
Dakle dubina je još jedan razlog zašto ne vidimo predmete kakvi jesu.
Uostalom mi ne vidimo 3D, nego ga samo zamišljamo pa smo već naučeni na to.

Sada sam nacrtao 2 tesseracta (4D kocke), ali sa punim stranicama, tj unutrašnjost se ne vidi.




Ovdje se točke predmeta četvrte dimenzije nalaze malo ispred u 3D od točaka iz 3D prostora.

Pentachoron 4D sa neprozirnim stranicama. Liči na nepravilnu četverostranu piramidu odavdje, ali skroz lijeva točka se nalazi bliže nama nego one 3 druge koje tvore jednakostraničan trokut.

Evo nečega o utjecaju dubine na izgled predmeta. Ono što nam je bliže, to imamo bolji efekt smanjivanja nego kod predmeta koji su dalje, baš zato ogradu vidimo ovako svinuto, i efekt svinuća je sve manji s udaljenosti, no svejedno nam se linije preklope.
Mala slika sa prikazom onog što sam napisao.

Misteriozna matematika


Slike koje sam dosada postao su 4D prikazi konveksnih poliedara.

Kada je tijelo konveksno? Kada bismo unutar konveksnog tijela stavili 2 točke A i B (bilo gdje) i kada bismo ih spojili, tada ta dužina u nijednom svom dijelu ne bi izlazila van tijela. Može se zaključiti da konveksna tijela na neki način teže ka sferi.

Poliedar je tijelo koje ima sve stranice jednake, a njegove stranice (faces) su pravilni poligoni. Također vlada simetrija.

Pravilni poligoni su recimo jednakostraničan trokut, kvadrat, pravilan peterokut... Uglavnom to su tijela koja imaju sve rubove jednake dužine, i kod svakog vrha jest jednak kut.

Dakle pravilnih 2D tijela ima beskonačno. To su n-terokuti


Pravilnih poliedra ili Platonovih tijela ima samo 5!

Tetrahedron (Simplex je primjer)
Hexahedron (Kocka)
Octahedron (Bipiramida)
Dodecahedron
Icosahedron



To je sve, ostalih pravilnih poliedara nema.
Zašto ne postoji recimo Pentahedron ili Nonahedron objasnit ću u sljedećem postu.

Svako od tih tijela ima svoj 4D izgled, s tim da se u 4D pojavljuje još jedno konveksno pravilno poliedarsko tijelo koje postoji samo u četvrtoj dimenziji, i nema predstavnika u 3D.
U 4D konveksnih poliedara ima 6:


Pentachoron



Nastaje iz Tetrahedrona. Još se zove i 5-cell, 4-simplex, Hyperpyramid.


Octachoron



Nastaje iz Hexahedrona. Još se zove i Tesseract, Hypercube, 8-cell

Dualan politop sa Hexadecachoronom.


Hexadecachoron



Nastaje iz Octahedrona. Još se zove i Tetracross, 16 cell

Dualan politop sa Octachoronom.


Icositetrachoron



To je to jedinstveno tijelo koje postoji samo u 4D. Još se zove i 24 cell

On je dualan sam sa sobom.


Hecatonicosachoron



Nastaje iz Dodecahedrona. Još se zove 120 cell.

To je dualan politop sa Hexacosichoronom.


Hexacosichoron



Nastaje iz Icosahedrona. Zove se još 600 cell.

To je dualan politop sa Hecatonicosachoronom.


U 5D i nadalje postoje samo po 3 konveksna poliedarska tijela. To su nasljednici Tetraedra, Heksaedra i Oktaedra.

5D politop Tetraedra jest Hexateron

Drugi naziv je 5-simplex


5D politop Heksaedra jest Decateron



Zove se još Penteract


5D politop Oktaedra jest Triacontakaiditeron

Zove se još Pentacross

Zašto postoji samo 5 3D konveksnih poliedara?
Zato što se ostala tijela jednostavno ne mogu poklopiti tako da tvore zatvoreno 3D tijelo.

Dokaz se može dati pomoću Eulerove formule. Ona nam govori o tome da postoji jedno pravilo kod konveksnih tijela.
Broj stranica + broj vrhova (točaka) - broj rubova = 2

To se može ovako zapisati:
F + V - E = 2

Sada ću uvest 2 nove vrijednosti.

n = broj rubova koja svaka stranica ima
Na primjer kockina stranica (kvadrat) ima 4 ruba.

m = broj lica tijela koja se susreću kod nekog vrha
Kod vrha kocke se susreću 3 kvadrata.

E sada rastavimo kocku, to jest oslobodimo svako njeno lice (stranicu) tako da stoji zasebno.
Što sada imamo? Kocka ima 12 rubova, a tako rastavljena kocka ima 6 * 4 = 24 rubova. Dakle poduplao se broj rubova. To jest sada imamo 2E (E = edge)

Kocka ima 6 strana, a svaka strana ima 4 ruba. Tako se dođe do broja rubova rastavljene kocke, a to je isto što i 2E. No to se može i ovako zapisati:

F * n = 2E = 24

Kada smo kocku rastavili na taj način, tada su 1 jednog vrha kocke nastala 3 vrha, i tako na 8 mjesta jer kocka ima 8 vrhova. To kada se pomnoži je također jednako 24. Može se zapisati

m * V = 24 = 2E


Sada izlučivanje.

F * n = 2E
F = E / n

m * V = 2E
V = 2E / m

To se uvrsti u F + V - E = 2 i dobi se:

2E / n + 2E / m - E = 2

Sve se podijeli sa 2E i ispadne:

1/n + 1/m - 0.5 = 0.1 * E

Broj rubova ne može biti negativan, tako da će na desnoj strani uvijek biti pozitivan broj, pa se može zapisati:

1/n + 1/m - 0.5 > 0

1/n + 1/m > 0.5

I to je to, formula je izvedena. Sada samo treba napraviti provjeru.

Niti n niti m ne mogu biti manji od 3 jer se inače ne radi o poliedarskom tijelu (tijelo nije zatvoreno). Uostalom najjednostavnije 3D tijelo jest piramida. Stranice su trokuti (n = 3), a kod vrha se susreću 3 lica piramide (3 trokuta).

n = 3, m = 3
0.33 + 0.33 > 0.5 štima

n = 4, m = 3
0.25 + 0.33 > 0.5 štima
Dakle štimat će i za n = 3, m = 4

n = 4, m = 4
0.25 + 0.25 > 0.5 nije istina, dakle ne štima

n = 5, m = 3
0.2 + 0.33 > 0.5 štima
Dakle štimat će i za n = 3, m = 5

Sada nadalje što se uzimaju veće vrijednosti za m i n, to je manji broj na lijevoj strani, dakle neće biti dobro budući da nije dobro niti za n=4, m=4.


Za koje vrijednosti formula vrijedi?

n=3, m=3
Kojem tijelu su sva lica trokuti (n=3), a na vrhu se susreću 3 strane(m=3)?
Odgovor je piramida, a konveksan poliedar jest Tetraedar ili simplex.

n=4, m=3
Kojem konveksnom poliedru su sva lica kvadrati, a na vrhu se susreću 3 strane?
Odgovor je kocki ili Heksaedru

n=3, m=4
Kojem konveksnom poliedru su sva lica jednakostranični trokuti, a na vrhu susreću 4 strane tog poliedra?
Odgovor je Oktaedru

n=5, m=3
Kojem konveksnom poliedru su sva lica pravilni peterokuti, a na vrhu se susreću 3 strane?
Odgovor je Dodekaedru

I zadnji n=3, m=5
Kojem konveksnom poliedru su sva lica jednakostranični trokuti, a pri vrhu se susreće 5 njih?
Odgovor je Ikozaedru

Jedan crtež dodekaedra

Nevjerojatno, omega, svaka čast